ميانگين حسابي

در دانش آمار میانگین حسابی یا متوسط حسابی (به انگلیسی: ‎Arithmetic mean ‏) نوعی سنجش گرایش به مرکز است، و عبارت است از مجموع مقادیر موجود در یک مجموعه داده‌ها تقسیم بر تعداد آن‌ها.

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{1}{n} (x_1+\cdots+x_n) (آمده در ویکیپدیا)

  • كه آن را ميانگين نيز مي گويند متداول ترين اندازه مركزي مي باشد كه از رابطه به دست مي‌آيد.

    (تعداد اندازه ها)/ (مجموع اندازه ها) = ميانگين

    ميانگين محاسبه شده براي داده هاي نمونه را با علامت و ميانگين جمعیت را با علامت نشان مي‌دهند. به عبارت ديگر اگر اندازه نمونه انتخاب شده برابر با n و اندازه جمعیت برابر با N (جمعیت محدود) و اندازه صفت عضـوام جمعیت با نشان داده شود، آنگاه

    • (معمولاً در بررسي هاي آماريمجهول است)

    مثال: میانگین حسابی چهار داده 3، 5، 7 و 2 عبارت است از:


    اگر داده هاي جمع آوري شده در يك جدول توزيع فراواني در طبقه تنظيم شده باشند، ميانگين از رابطه‌هاي

    ( براي جدول فراواني رده‌بندي شده )
    ( براي جدول فراواني طبقه‌بندي شده )

    كه در آن مقدار رده، فراواني و مركز طبقةام جدول است.

    مثال: جدول زیر توزیع بیماران مراجعه کننده به یک درمانگاه را بر حسب تعداد دندانهای فاسد آنها نشان می دهد.
    میانگین حسابی این داده ها را محاسبه نمایید.

    4

    3

    2

    1

    0

    دندانهای فاسد

    8

    9

    14

    5

    10

    بیماران


    مثال: جدول فراوانی سنی نوزادان در یک بیمارستان در جدول زیر تنظیم شده است. میانگین سن این نوزادان عبارت است از:

    11-8

    7-4

    3-0

    فاصله سنی بر حسب ماه

     

    10

    20

    10

    فراوانی

    9.5

    5.5

    1.5

    مرکز طبقه


    مقدار ميانگين محاسبه شده با استفاده از جدول فراواني طبقه بندي با مقدار واقعي ميانگين تفاوت دارد، زيرا در محاسبه، مركز هر طبقه به جاي كل داده هاي آن طبقه در نظر گرفته شده است (يك يكنواختي رد اينجا فرض مي شود كه با حالت واقعي آن تفاوت چنداني ندارد و قابل چشم پوشي است).

     

    داده هاي پرت يا مقادير فرين و تأثير آنها روي ميانگين: بعضاً مجموعه اي از داده ها ممكن است شامل چند عدد خيلي كوچك و يا چند عدد حقيقي بزرگ باشد، كــــه آنها را ” دادة پرت” مي گويند. به طور كلي اندازه هائي كه مقدار آنها در ميقايسه با اكثر داده ها بسيار كوچك و يا بسيار بزرگ مي باشد را داده پرت و يا مقادير فرين مي گويند. بهترين راه تشخيص داده هاي پرت، استفاده از نمودار ”باكس” مي باشد. يك از معايب ميانگين به عنوان اندازه مركزي حساسيت آن به داده هاي پرت است كه براي رفع اين مشكل معيار ميانه به كار برده مي شود.

    خواص ميانگين حسابي

    ١ – مجموع انحرافات از ميانگين همواره برابر صفر است .

    ۲ – زمانيکه تعداد داده‌ها و ميانگين را داشته باشيم مجموع داده‌ها را مي توان بدست آورد .

    ۳ – ميانگين حسابي داده هاي برابر خود مقدار صفت است .

    مثلا اگر داشته باشيم ۴ ، ۴ ، ۴ ، ۴ ، ۴ ميانگين آن ۴ مي شود .

    ۴ – اگر داده هاي آماري با عددي مثل a جمع (تفريق) يا در عددي مثل a ضرب (تقسيم) بشود ميانگين هم با a جمع (تفريق) يا در a ضرب (تقسيم) مي شود .

    5 – مجموع مربعات انحرافات مقادير صفت که ميانگين کوچکتر و مساوي مجموع مربعات انحرافات مقادير صفت از هر عددي مثل a است
     ادامه مطلب