مقايسه اندازه هاي مركزي ميانگين، ميانه و نما:

مقايسه اندازه هاي مركزي ميانگين، ميانه و نما:

براي مجموعه اي از داده ها نمي توان به سادگي نتيجه گرفت كه كداميك از اندازه هاي مركزي ميانگين، ميانه و نما بهترين معيار است. لذا در اين قسمت به ويژگيها و موارد استفاده آنها اشاره مي شود تا استفاده كننده با شناخت بهتري بتواند معيار مناسب را انتخاب نمايد.
الف) ميانگين حسابي
١- ميانگين با استفاده از ارزش همه داده ها محاسبه مي گردد.
٢- مقدار ميانگين نسبت به دو معيار ديگر در نمونه گيري هاي متفاوت از يك جمعیت كمتر تغيير مي‌يابد .
٣- از ميانگين براي محاسبه معيارهاي پراكندگي استفاده مي شود.
٤- ميانگين را نمي توان براي يك جدول توزيع فراواني كه طبقه اول و طبقه آخر آن محدود نمي باشند محاسبه نمود.
٥- ميانگين براي مجموعه اي از داده ها يكتا است.
٦- اندازه ميانگين تحت تأثير مقادير بسيار بزرگ و يا مقادير بسيار كوچك قرار مي گيرد و به همين دليل مي تواند معيار مركزي نامناسبي باشد.
ب) ميانه
١- ميانه زماني محاسبه مي گردد كه نياز به شناخت ارزش مياني داده ها باشد.
٢- براي تشخيص اينكه اندازه اي از داده ها در نيمه بالا و يا نيمه پايين توزيع قرار مي گيرد، محاسبه ميانه لازم است.
٣- ميانه معيار مركزي مناسبي براي داده هاي جدول توزيع فراواني است كه طبقه اول و طبقه آخر آن محدود نيست.
٤- ميانه كمتر تحت تأثير مقادير بسيار كوچك و بسيار بزرگ قرار مي گيرد.
ج) نما
١- براي تعيين متداول ترين اندازه داده ها از معيار نما استفاده مي شود.
٢- محاسبه معيار مركزي نما از ساير معيارها ساده تر است
٣- نما را مي توان به عنوان يك معيار مركزي براي داده هاي كيفي نيز به كار برد
٤- ممكن است براي مجموعه اي از داده ها نما وجود نداشته باشد و يا بيش از يك نما موجود باشد.

رابطه بين ميانگين، ميانه و نما:

رابطه بين معيارهاي مركزي ميانگين، ميانه و نما براي توزيع هاي متقارن و چوله به شرح زير مي باشد.
١- براي مجموعه اي از داده ها با هيستوگرام متقارن و يك نمائي، مقادير ميانگين، ميانه و نما يكسان بوده و در مركز توزيع قرار دارند.

٢- براي هيستوگرامي كه چوله به راست مي باشد، مقدار ميانگين بزرگترين اندازه و نما كوچكترين اندازه مركزي و ميانه بين اين دو اندازه قرار دارد. دليل بزرگ بودن ميانگين، تأثير اندازه هاي بسيار بزرگ در طرف راست هيستوگرام مي باشد.

٣- براي هيستوگرامي كه چوله به چپ است. ميانگين كوچكترين اندازه و نما بزرگترين اندازه را دارا است و ميانه بين اين دو اندازه قرار مي گيرد.

هرگاه میزان چولگی خفیف باشد، بین میانگین و میانه و مد، رابطه تقریبی زیر برقرار است:

اگر ازو سه خط موازی محور ها رسم کنیم، از نظر هندسی خطی که از رسم می شود از نقطه ماکزیمم منحنی فراوانی می گذرد، خطی که از رسم می شود مساحت زیر منحنی فراوانی را نصف می کند و خطی که از می گذرد محور تعادل منحنی را مشخص می سازد.

	ديگر اندازه هاي مركزي
	فرض کنید داده به صورت با فراوانی های داشته باشیم. (در صورتی که داده ها پیوسته باشند، ها را نماینده رده ها/طبقات در نظر می گیریم. ميانگين وزني ـ در برخي از داده ها براي محاسبه ميانگين حسابي، به دليل اينكه مقادير مشاهده شده ارزش هاي متفاوت دارند لازم است به هر مشاهده وزني را اختصاص داده و سپس ميانگين داده هاي وزن داده شده را محاسبه نمود. ميانگين وزني از فرمول زير محاسبه مي شود ميانگين پيراسته ـ همانگونه كه پيش از اين ذكر شد اندازه ميانگين تحت تأثير مقادير بسيار بزرگ و يا مقادير بسيار كوچك قرار مي گيرد و به همين دليل مي تواند معيار مركزي نامناسبي باشد در چنين شرايطي شايد مناسب باشد از معيار ميانگين پيراسته كه از از تاثير مقادير فرين مصون مي‌باشد استفاده نماييم. يك ميانگين پيراستة كه با نمايش داده ميشود به ميانگين حسابي گفته ميشود كه پس از كنار گذاردن نسبتاز مشاهدات دو انتهاي مجموعة دادة مرتب شده محاسبه شود. براي محاسبه ميانگينپيراسته با استفاده از داده هاي خام به ترتيب زير عمل مي كنيم. ١- داده ها را به ترتيب صعودي يا نزولي مرتب مي كنيم ٢- به داده هاي مرتب شده رتبه اختصاص مي دهيم به طوريكه به اولين عدد رتبه 1 ، و به آخرين عدد رتبه n يا تعلق مي گيرد. جايگشتي مرتب شده از ‌مقاديرداده هاي اصلي هستند. ٣- مقدار صحيح عبارت را محاسبه مي‌كنيم و مي‌ناميم ٤- ميانگين حسابي مشاهدات را محاسبه‌ مي‌كنيم ميانگين هارمونيك یا توافقی ـ ميانگين هارمونيك به صورت عكس ميانگين معكوس اندازه ها تعريف شده است. در صورتی که همگی غیرصفر باشند، ميانگين هارمونيك از رابطه زير به دست مي آيد. كاربرد اين ميانگين در موارد خاص مي باشد. مثلاً براي محاسبه متوسط سرعت اتومبيل وقتي كه اتومبيل فاصله بين دو شهر را با سرعت هاي متفاوت طي مي كند، سرعت متوسط را نمي توان از ميانگين حسابي به دست آورد. فرض كنيد راننده اي مسافت 100 كيلومتر را با سرعت 80 كيلومتر در ساعت طي مي كند و در برگشت همان مسافت را با سرعت 90 كيلومتر در ساعت، در اين صورت سرعت متوسط رانند 85 كيلومتر در ساعت نيست زيرا كه با استفاده از ميانگين هارمونيك نيز نتيجه فوق حاصل مي شود. به طور كلي ميانگين هارمونيك زماني استفاده مي شود ه مشاهدات به صورت معكوس براي ميانگين مورد نظر بيان شده اند. مثلاً اگر متوسط قيمت يك كالا خواسته شود و اطلاعات به صورت تعداد كالاها براي يك قيمت معين داده شده باشد، از ميانگين هارمونيك استفاده مي شود. این میانگین در عینک سنجی و مطالعه شبکه های برق به کار می رود. ميانگين هندسي - ميانگين هندسي معيار مركزي مناسب براي داده هايي از نوع درصد، نسبت، نرخ، شاخص ها و غيره است. براي محاسبه ميانگين هندسي، در صورتی که همگی مثبت باشند، از رابطه استفاده مي شود. برای محاسبه این میانگین آسانتر است که قبلا لگاریتم آن راحساب کرد. لگاریتم این میانگین برابر است با میانگین حسابی ميانگين رتبه دو- این میانگین به صورت تعریف می شود و در حقیقت برابر است با جذر میانگین حسابی . می توان ثابت کرد که میان چهار نوع میانگین حسابی، هندسی، توافقی و رتبه دو، رابطه زیر برقرار است:

 ادامه مطلب